Passaggio da due assistiti a uno

Buongiorno,
la figlia (datore di lavoro) ha assunto una badante convivente per assistenza al padre. In casa vive anche la madre e per questo viene erogata in busta l'indennità di funzione.
A seguito del decesso del padre si vuole mantenere in servizio la badante per assistere esclusivamente la madre.
E' sufficiente consegnare una lettera alla badante in cui si comunica la variazione del nome dell'assistito e che non verrà può erogata l'indennità? O si deve fare una comunicazione anche all'INPS?

Buongiorno,

trattandosi di una mera modifica di un'indennità, non è necessario procedere ad alcuna comunicazione all'INPS.

E' invece indispensabile la comunicazione della variazione dell'indenntà, utile a creare certezza nel rapporto esistente.

Cordiali saluti.